@PHDTHESIS{Ne08,
  author = {Nemitz, Oliver},
  title = {{A}nisotrope {V}erfahren in der {B}ildverarbeitung: {G}radientenfl{\"{u}}sse,
	{L}evel-{S}ets und {N}arrow {B}ands},
  school = {University of Bonn},
  year = {2008},
  type = {Dissertation},
  abstract = {Isotrope Gl{\"{a}}ttungs- und Restaurierungsverfahren neigen dazu,
	Isofl{\"{a}}chen abzurunden. F{\"{u}}r beispielsweise ecken- oder
	kantenerhaltendes Gl{\"{a}}tten oder Restaurieren sind sie nicht
	geeignet. Stattdessen k{\"{o}}nnen anisotrope Verfahren verwendet
	werden, die ein lokal definiertes, konvexes Muster (das sogenannte
	Wulff-Shape) bevorzugt ausbilden. Nach einer ausf{\"{u}}hrlichen
	Darstellung der Theorie solcher Anisotropien werden in dieser Arbeit
	die folgenden drei Verfahren behandelt: 1) Simultane Gl{\"{a}}ttung
	und Klassifizierung von Luftaufnahmen von Stadtgebieten: Solche Aufnahmen
	enthalten haupts{\"{a}}chlich rechtwinklige, unterschiedlich orientierte
	Strukturen. Unser Verfahren beruht auf dem anisotropen ROF-Modell
	und extrahiert zum einen den sogenannten Cartoon des Bildes, der
	die geometrischen Objekte, aber kein Rauschen und keine Texturen
	enth{\"{a}}lt, zum anderen klassifiziert es simultan die Orientierungen
	dieser rechtwinkligen Strukturen. Als Wulff-Shape verwenden wir ein
	rotiertes Quadrat, das sich automatisch an den Kanten des Bildes
	ausrichtet. Eine hinreichend starke Regularisierung des Orientierungsparameters
	erm{\"{o}}glicht es dabei, Ecken nicht nur zu erhalten, sondern auch
	zu restaurieren. Zur Energieminimierung verwenden wir ein explizites
	Gradientenverfahren mit Zeitschrittweitensteuerung und Bregman-Iterationen,
	um den starken Kontrastverlust des ROF-Verfahrens zu kompensieren.
	Die Diskretisierung erfolgt mit bilinearen Finiten Elementen. 2)
	Gl{\"{a}}ttung und Restaurierung von 3D MR Angiographie-Daten: Solche
	medizinischen Aufnahmen von Blutgef{\"{a}}{\ss}en sind oft verrauscht
	und k{\"{o}}nnen unterbrochene Strukturen aufweisen. Unser Verfahren
	gl{\"{a}}ttet diese Strukturen und schlie{\ss}t kleine L{\"{u}}cken
	in den Blutgef{\"{a}}{\ss}en. Hierdurch erh{\"{a}}lt der Mediziner
	in der pr{\"{a}}operativen Phase eine klarere Darstellung der Architektur
	der Blutgef{\"{a}}{\ss}e. Unser Verfahren basiert auf dem anisotropen
	mittleren Kr{\"{u}}mmungsfluss, wobei wir als Wulff-Shapes f{\"{u}}r
	die ann{\"{a}}hernd r{\"{o}}hrenf{\"{o}}rmigen Blutgef{\"{a}}{\ss}e
	lange Ellipsoide verwenden. Diese werden lokal in die Richtung der
	Adern rotiert, was in der Evolution zu einer starken Gl{\"{a}}ttung
	und zu einem Wachstum in Richtung der Strukturen f{\"{u}}hrt. Die
	Richtung der Adern bestimmen wir mit einer Momentenanalyse, basierend
	auf einer Sch{\"{a}}tzung der Blutgef{\"{a}}{\ss}radien, in einem
	vorherigen separaten Klassifizierungsschritt. Um das Schrumpfen der
	Strukturen unter dem Kr{\"{u}}mmungsfluss zu verhindern, verwenden
	wir weiterhin einen lokalen Volumenkorrekturterm. Das gesamte Verfahren
	ist im Level-Set-Kontext formuliert, die Blutgef{\"{a}}{\ss}e sind
	als 0-Isofl{\"{a}}che einer Level-Set-Funktion gegeben. Um die Effizienz
	unserer Methode zu steigern, berechnen wir die Evolution nur auf
	einem hinreichend breiten Band um das Interface herum. Die Ortsdiskretisierung
	erfolgt mit trilinearen Finiten Elementen auf einem Hexaeder-Gitter,
	in der Zeit verwenden wir ein semi-implizites R{\"{u}}ckw{\"{a}}rts-Euler-Verfahren.
	3) Restaurierung von Gravuren in ebenen Graphenfl{\"{a}}chen: Solche
	Fl{\"{a}}chen sind durch spitze Kanten und {\"{U}}berg{\"{a}}nge
	von Gravuren zu ebenen Fl{\"{a}}chenst{\"{u}}cken charakterisiert.
	Damit diese anisotropen Strukturen bei einer Restaurierung auch korrekt
	in das Innere des Restaurierungsgebietes fortgesetzt werden, verwenden
	wir den anisotropen Willmore-Fluss mit speziell konstruierten Wulff-Shapes
	und geeigneten Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Um bei letzteren
	die Berechnung eines Randintegrals zu vermeiden, schreiben wir die
	Neumann-Randbedingungen durch Integration {\"{u}}ber ein vergr{\"{o}}{\ss}ertes
	Rechengebiet vor. Zur Restaurierung verwenden wir zwei verschiedene
	Wulff-Shapes: Einen Doppelkegel, um spitze Kanten auszubilden und
	einen Rotationsk{\"{o}}rper, definiert durch ein Hexagon, um den
	{\"{U}}bergang von Gravuren zu ebenen Fl{\"{a}}chen zu restaurieren.
	Die Euler-Lagrange-Gleichung des anisotropen Willmore-Flusses ist
	von vierter Ordnung. Wir substituieren hier die anisotrope Kr{\"{u}}mmungskonzentration
	um ein gekoppeltes System aus zwei Gleichungen zweiter Ordnung zu
	erhalten. Zur Diskretisierung verwenden wir wieder ein semi-implizites
	R{\"{u}}ckw{\"{a}}rts-Euler-Verfahren und bilineare Finite Elemente.
	In dem letzten Kapitel dieser Dissertation haben wir uns mit Narrow-Band-Verfahren
	besch{\"{a}}ftigt. Diese kompensieren den gro{\ss}en Nachteil der
	Level-Set-Methode, die zur Definition einer d-dimensionalen Fl{\"{a}}che
	eine (d+1)-dimensionale Level-Set-Funktion ben{\"{o}}tigt. Wir beschr{\"{a}}nken
	uns hierbei auf 2D-Fl{\"{a}}chen im $R^3$. Anstelle des gesamten
	3D-Rechengebiets betrachten wir nur ein schmales Band (Narrow Band)
	um das Interface herum. Ein solches Verfahren an sich ist nicht neu.
	Unser Beitrag ist es, (semi-)implizite Finite-Elemente-Verfahren
	zum L{\"{o}}sen von partiellen Differentialgleichungen auf impliziten
	Fl{\"{a}}chen oder Fl{\"{a}}chenevolutionen jeweils auf schmalst
	m{\"{o}}glichen B{\"{a}}ndern zu formulieren und mit einer sehr effizienten
	Datenstruktur, dem DT-Grid von Nielsen und Museth, zu implementieren.
	Diese Datenstruktur basiert auf Laufl{\"{a}}ngenkodierung und bietet
	f{\"{u}}r unsere Zwecke eine konstante Zugriffszeit auf Knoten und
	Elemente des Gitters. Ein gro{\ss}es Problem bei solch schmalen Narrow
	Bands ist der dem Interface sehr nahe Rand, der aus zu Koordinatenebenen
	parallelen R{\"{a}}ndern von Gitterzellen besteht. Hierdurch ist
	die {\"{u}}bliche Verwendung von Neumann-Randbedingungen nicht mehr
	m{\"{o}}glich, da dieser Zick-Zack-f{\"{o}}rmige Rand einen st{\"{o}}renden
	Einfluss auf den Gradienten der L{\"{o}}sung hat. Daher definieren
	wir sogenannte transparente Randbedingungen, um diese St{\"{o}}rung
	zu kompensieren. Bei Fl{\"{a}}chenevolutionen besteht zus{\"{a}}tzlich
	die Gefahr, dass das Interface das Narrow Band verl{\"{a}}sst. Um
	dennoch gro{\ss}e Zeitschrittweiten verwenden zu k{\"{o}}nnen, haben
	wir ein Iterations-Schema entwickelt, welches dem Interface und dem
	Narrow Band in einer inneren Iteration erlaubt, zu der zu einem gro{\ss}en
	Zeitschritt geh{\"{o}}renden neuen Position zu wandern. Wir haben
	die Konsistenz sowohl der transparenten Randbedingungen als auch
	der inneren Iterationen untersucht und pr{\"{a}}sentieren zahlreiche
	numerische Beispiele auf hochaufgel{\"{o}}sten impliziten Fl{\"{a}}chen.},
  pdf = {http://numod.ins.uni-bonn.de/research/papers/public/Ne08.pdf},
  url = {http://hss.ulb.uni-bonn.de/diss_online/math_nat_fak/2008/nemitz_oliver/}
}