@Article{	  Hiptmair.Schiekofer.Wohlmuth:1996,
  author	= {R. Hiptmair and T. Schiekofer and B. Wohlmuth},
  title		= {{M}ultilevel preconditioned augmented {L}agrangian
		  techniques for 2nd order mixed problems},
  journal	= {Computing},
  year		= {1996},
  optkey	= {},
  volume	= {57},
  optnumber	= {},
  pages		= {25--48},
  optmonth	= {},
  note		= {also as Tech. report 328 Institut f\"ur Mathematik,
		  Universit\"at Augsburg},
  ps		= {http://wissrech.ins.uni-bonn.de/research/pub/schiekofer/lagrange.ps.gz}
		  ,
  optannote	= {},
  abstract	= {We are concerned with the efficient solution of saddle
		  point problems arising from the mixed discretization of 2nd
		  order elliptic problems in two dimensions. We consider the
		  mixed discretization of the boundary value problem by means
		  of lowest order Raviart-Thomas elements. This leads to a
		  saddle point problem, which can be tackled by Uzawa-like
		  iterative solvers. We suggest a prior modification of the
		  saddle point problem according to the augmented Lagrangian
		  approach (cf. [16]) in order to make it more amenable to
		  the iterative procedure. In order to boost the speed of
		  iterative methods, we additionally employ a multilevel
		  preconditioner first presented by Vassilevski and Wang in
		  [27]. It is based on a special splitting of the space of
		  vector valued fluxes, which exploits the close relationship
		  between piecewise linear continuous finite element
		  functions and divergence free fluxes. We prove that this
		  splitting gives rise to an optimal preconditioner: it
		  achieves condition numbers bounded independently on the
		  depth of refinement. The proof is set in the framework of
		  Schwarz methods (cf. [29, 30]). It relies on established
		  results about standard multilevel methods as well as a
		  strengthened Cauchy-Schwarz inequality for $RT_0$-spaces.
		  
		  Gegenstand der Arbeit ist die effiziente L\"{o}sung von
		  Sattelpunktproblemen, wie sie bei der gemischten
		  Diskretisierung elliptischer Randwertprobleme zweiter
		  Ordnung in 2D entstehen. Wir betrachten die gemischte
		  Diskretisierung der Randwertprobleme mit Hilfe von
		  Raviart-Thomas Elementen niedrigster Ordnung. Man erh\"alt
		  ein Sattelpunktproblem, das sich durch vom
		  Uzawa-Algorithmus abgeleitete iterative Verfahren l\"{o}sen
		  l\"a{\ss}t. Wir schlagen vor, das Sattelpunktproblem
		  zun\"{a}chst mit Hilfe der Technik der Erweiterten
		  Lagrangeschen Multiplikatoren zu modifizieren, um die
		  iterative L\"{o}sung zu erleichtern. Um die Konvergenz der
		  iterativen Verfahren zu beschleunigen, setzen wir einen
		  Multilevel Vorkonditionierer ein, der zuerst von
		  Vassilevski und Wang in [27] vorgeschlagen wurde. Er
		  st\"utzt sich auch eine spezielle Zerlegung des Raums der
		  vektorwertigen Finite Elemente Ansatzfunktionen, die die
		  enge Beziehung zwischen st\"uckweise liearen, stetigen
		  Finite Elemente Funktionen und divergenzfreien Fl\"ussen
		  ausn\"utzt. Wir zeigen, da{\ss} diese Zerlegung auf einen
		  optimalen Vorkonditionierer f\"uhrt; er erzielt
		  Konditionszahlen, die nicht von der Verfeinerungstiefe
		  abh\"angen. Der Beweis folgt dem \"ublichen Vorgehen im
		  Fall additiver Schwarz Methoden (vgl. [29, 30]). Er
		  st\"{u}tzt sich auf wohlbekannte Tatsachen \"uber Standard
		  Multilevelverfahren sowie auf eine versch\"{a}rfte
		  Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. }
}