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Ingenieurmathematik (Master)

Veranstaltungsnummern 734001004 (Vorlesung)

Vorlesung: Prof. Dr. Martin Rumpf

Termine

Vorlesung Donnerstag, 10 - 12 Uhr Hörsaal XV, Nußallee 17

Skript

aktuelle Version vom 01.02.2013

18.10.2012, Programmieraufgabe I: Bildglättung

Implementieren Sie das in der Vorlesung beschriebene Finite-Differenzen-Verfahren zur 2D-Bildglättung in MATLAB. Überlegen Sie sich hierzu eine Nummerierung der Unbekannten und stellen Sie die Matrizen für den Differentialoperator auf.

Als Eingabe verwenden Sie das Bild filter2d.pgm mittels 

f = imread('filter2d.pgm');
Wenn Sie β=10-4 wählen, sollten Sie das Bild filter2d_result.pgm erhalten.

Beispiellösung: filter2d.m.

06.12.2012, Programmieraufgabe II: Bildglättung 2

Implementieren Sie das TV-L2-Verfahren und wenden Sie dies auf das Bild aus Aufgabe I sowie auf das Testbild an. Experimentieren Sie mit den Parametern.


Da der Algorithmus in MATLAB doch recht langsam ist, hier noch das Luftbild und das Testbild in kleinerer Auflösung.

Beispiele:
TV-L2 (kleines Luftbild), β=0.25, τ=0.2, Abbruch bei <10-4, Dauer 10s, 2090 Iterationen.
TV-L2 (großes Luftbild), β=0.35, τ=0.2, Abbruch bei <10-3, Dauer 58s, 661 Iterationen.

Beispiellösung: bvl2.m rof.m.

10.01.2013, Programmieraufgabe III: Finite Elemente

Implemetieren Sie das in der Vorlesung besprochene 2D Finite-Elemente-Verfahren. Wenden Sie es auf die Beispieldaten an, die auf einem Dreiecksgitter gegeben sind. Zum Laden der Daten verwenden und kommentieren Sie den Beispielcode.

Beachten Sie auch den Hinweis zur Assemblierung von Matrizen am Ende von Kapitel 2.5 im Skript.

Beispiellösung: FE.m.

24.01.2013, Programmieraufgabe IV: Elastizität

Schreiben Sie ein Programm, das für eine in Form einer Triangulierung vorgegebene Geometrie zu gegebenen Randwerten die Verschiebung berechnet und visualisiert. Zum Laden der Daten verwenden und kommentieren Sie den Beispielcode. Zur Aufstellung der Steifigkeits- und Massematrizen benutzen Sie StiffMassMat.

Zu den Randwerten:

  • Dirichlet-Randwerte werden wie in den vorigen Programmen auch gehandhabt. Falls homogene Dirichlet-Randwerte vorkommen, listet die Datei name.DichichletBC die Nummern der betroffenen Knoten auf.
  • Nicht-Null-Neumann-Randwerte (Oberflächenkräfte) fließen in die rechte Seite durch das Integral über Γ1 ein. Die Datei name.nonzeroNeumannBC enthält pro Kantenstück eine Zeile, in der die ersten beiden Spalten die Indizes des Start- und Endpunktespunktes enthalten und die dritte und vierte Spalte den x- und y-Wert von g.
Testen Sie den Löser an folgenden Beispielen:
  1. An einem Block wird von beiden seiten gezogen.
    Dateien: Gitter, Dirichlet-Randwerte, Neumann-Randwerte.

  2. Einem Bauteil mit und ohne Querverstrebung. Untersuchen Sie verschiedene Werte für μ und λ und vergleichen Sie die Verschiebungen.
    Dateien ohne Querverstrebung: Gitter, Dirichlet-Randwerte, Neumann-Randwerte.
    Dateien mit Querverstrebung: Gitter, Dirichlet-Randwerte, Neumann-Randwerte.
    Bemerkung: Versuchen Sie z.B. λ=1600 und μ=270.

  3. Berechnen Sie die Deformation einer zweidimendionalen "Erdkugel" aufgrund eines Hochdruckgebiets. Die Erde werde als Kreis mit Radius 6.371E6 m modelliert. Als Randwerte nehmen wir einen Druck (d.h. eine Kraftdichte) von 1500 Pa auf einen Kreisbogen der Länge 2.778E6 m, von 0 Pa auf dem Rest der Erdoberfläche an und setzen (zur Vermeidung von Verschiebung und schiefsymmetrischem Anteil) an einigen Punkten im Erdmittelpunkt die Verschiebung auf Null fest.

    Die Lamé-Parameter der Erde werden für Schale, inneren und äußeren Kern jeweils als konstant als angenommen:

    • Für die Schale (6.371E6 m bis 1.720E6 m) als λ = 13.4e11 Pa und μ = 1.1e11 Pa.
    • Für den äußeren Kern (1.720E6 m bis 6.371E5 m) als λ = 12.7e11 Pa und μ = 1 Pa.
      Für einen flüssigen äußeren Kern wäre μ = 0, bei der Modellierung als elastischer Körper muss μ jedoch positiv sein, wird aber sehr klein gewählt.
    • Für den inneren Kern (6.371E5m bis 0m) als λ = 13.4e11 Pa und μ = 1.1e11 Pa.

    Die Parameter λ und μ sind in der Datei name.lm für jedes Dreieck gelistet (Zeile = Nummer des Dreiecks, erster Wert λ, zweiter Wert μ).

    Eine geeignete Triangulierung, Randwerte und Materialparameter können Sie hier herunterladen:
    Gitter, Dirichlet-Randwerte, Neumann-Randwerte, Parameter λ und μ

    Zeichnen Sie zur Visualisierung eine deformierte Erde, wobei Sie die Verschiebung um den Faktor 2E7 überhöhen.

    Interpretieren Sie die unterschiedliche Deformation von Mantel, innerem und äußerem Kern. Wie groß ist die Verschiebung (in korrekten Einheiten!) in der Mitte des Hochdruckgebiets?

  4. Erweitern Sie den Löser auf nicht-konstante Werte für die Volumenkraft f. Wenden Sie den Löser auf das Beispiel eines Hauses (hohe Steifigkeit, große Masse) auf einem Hügel (geringere Steifigkeit, niedrigere Masse bzw. Dichte) an. Die Volumenkraft f ist in der Datei name.f für jeden Knoten aufgelistet (Zeile=Nummer des Punktes).
    Dateien: Gitter, Dirichlet-Randwerte, Volumenkraft, Parameter λ und μ.

Beachten sie, dass λ und μ zwar auf den einzelnen Dreiecken konstant sind, aber von Dreieck zu Dreieck verschieden sein können.